備忘録です
こんにちは、数学って大変だね～～～
いろんなところで単体(simplex)がコンパクト集合である証明をさせられて、そのたびたびにだましだまし証明してきたんですが、もう飽き飽きしたのでこの辺で備忘録的に書いておきます。つまり自分用。この記事を見つけたってことは君も単体がコンパクトである証明を先生に宿題で出されたんだろ？？わかる～～～～私もやったもん、そして教えて!gooのページを見て何言ってんの？って思ったでしょ？？わかる～～～～～
ここで当たり前のように「コンパクト⇔有界閉集合」を使います、どうせこの記事にたどり着くような数弱のいる科目なんてユークリッド空間しか扱わないんだからさ......開被覆をつかったコンパクト性を示したい人は、というか開被覆のコンパクト性の定義を知っているような人はこんなところにはきませんからね
御託はいらねえ
証明は適当なので各自加筆するように(自戒)(手抜き)
単体Δの定義
x:=(x^1,x^2,...,x^n) n次元 (上付き添え字派)
Δ={x∈R^n | ∀i∈{1,...,n},x^i≧0, x^1+x^2+...+x^n=1 }
Δが有界である証明
∀x∈Δ、||x||≦1 (∵∀0<y<1, (1-y)^2+y^2<1^2)
よりx∈B_2(0) (0中心半径2のn次元開球)
よりΔ⊂B_2(0)よりΔは有界。
Δが閉集合である証明
閉集合の定義「その集合内の任意の収束点列の収束先がその集合内に存在する」を使用する。
xに収束するΔ内の点列｛x_n｝を考える。Δ内なので∀i∈{1,...,n},x_n^i≧0, x_n^1+x_n^2+...+x_n^n=1
ここでx_nがxに収束するため、∀i∈{1,...,n},x^i≧0, x^1+...+x^n=1
よりx∈Δ
よってΔは閉集合
以上よりΔは有界閉集合⇔コンパクト ■
これじゃ証明できてないだろ！！って思ったらどこが間違っているかをコメント欄に書いてください、コメントの通知は切っているので多分気づかないと思います()
